Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 43 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Теорема вытекает из уравнения замкнутости. Действительно,
пусть
s
n
=
n
X
k=−n
c
k
(f)e
k
,
т.е. частичная сумма ряда Фурье функции f. Тогда kf −s
n
k → 0 при n → +∞. Но
hs
n
|gi =
n
X
k=−n
c
k
(f)c
k
(g)
и в силу неравенства Шварца
|hf|gi −
n
X
k=−n
c
k
(f)c
k
(g)| = |hf −s
n
|gi| 6 kf −s
n
k · kgk →
n→+∞
0 .
Теорема остается верной для значительно более широкого класса функций f
и g, лишь бы для них выполнялись условия замкнутости (равенства Парсеваля),
см. п. 2.7. Для наших целей достаточно того, что теорема остается верной для
периодической функции g, определенной при x ∈ [0, 2π] равенствами
g(x) =
(
1 , при x ∈ (α, β) ⊂ [0, 2π] ,
0 , при x /∈ (α, β) .
Такая функция элементарно аппроксимируется в среднеквадратичном непрерывной
функцией, см. рис.4. Например, отличие в среднеквадратичном функции g от ап-
проксимации на рис.4 не превосходит
r
S
2π
, где S — суммарная площадь заштри-
хованных треугольников. Эта величина может быть сделана сколь угодно малой и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
