Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 45 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
тогда, как было показано в п. 2.7, ряд Фурье функции g сходится к ней в средне-
квадратичном, а, следовательно, теорема 2.23 остается верной и для такой функции
g.
Запишем утверждение теоремы 2.23 для произвольной непрерывной периодиче-
ской с периодом 2π функции f и функции g, определенной выше. Тогда ввиду
c
n
(g) =
1
2π
β
Z
α
e
−inx
dx =
1
2π
β
Z
α
e
inx
dx ,
находим
β
Z
α
f(x) dx =
2π
Z
0
f(x)g(x) dx = 2π
+∞
X
n=−∞
c
n
(f)c
n
(g) =
+∞
X
n=−∞
c
n
(f)
β
Z
α
e
inx
dx ,
но это в точности означает возможность интегрировать почленно ряд Фурье функ-
ции f. Заметим, что исходный ряд Фурье не сходился (вообще говоря) равномерно
и теорема об интегрировании из общей теории рядов не применима. Заметим также,
что проинтегрированный ряд сходится равномерно относительно α и β, поскольку
имеет сходящийся мажорантный ряд
2π|c
0
(f)| + 2
X
n6=0
|c
n
(f)|
n
.
Нами доказана
Теорема 2.24. Ряд Фурье непрерывной периодической с периодом 2π функции
можно интегрировать почленно, причем проинтегрированный ряд сходится рав-
номерно относительно пределов интегрирования (считая, что последние изме-
няются на интервале длиной в период).

Страницы