Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 46 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании. Как было показано в ходе
доказательства теоремы Дирихле о равномерной сходимости (с помощью формулы
интегрирования по частям), если f — непрерывно дифференцируемая периодическая
с периодом 2π функция, то
c
n
(f
0
) = in · c
n
(f) , (2.14)
что соответствует возможности почленного дифференцирования ряда Фурье такой
функции f с получением ряда Фурье (сходящемся, вообще говоря, лишь в средне-
квадратичном) ее производной. В силу леммы Римана-Лебега, из этого соотношения
вытекает оценка скорости убывания при n → ∞ коэффициентов Фурье функции
класса C
1
2π
(т.е. непрерывно дифференцируемой, периодической):
c
n
(f) = o
1
n
,
т.е. быстрее чем
1
n
. Если функция f k раз непрерывно дифференцируема, то приме-
няя k раз формулу (2.14) получим
c
n
(f
(k)
) = (in)
k
· c
n
(f) ,
откуда вытекает оценка
c
n
(f) = o
1
n
k
для коэффициентов Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической с
периодом 2π функции.
Из этих оценок и из теоремы о дифференцировании общих функциональных ря-
дов вытекает, что ряд Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической
функции можно почленно дифференцировать (k − 1) раз с сохранением равномер-
ной сходимости ряда. k-е дифференцирование будет приводить к ряду Фурье k-ой
производной, но сходимость ряда надо понимать уже в среднеквадратичном.
Верно и обратное наблюдение: если коэффициенты Фурье некоторой функции
убывают достаточно быстро, такая функция будет достаточно гладкой. Именно, вер-
на
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
