Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 56 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если
P (ik) 6= 0 (∀k ∈ Z) , (3.3)
то
y
k
=
q
k
P (ik)
,
т.е. мы нашли коэффициенты Фурье функции y(x) а, следовательно, и саму эту
функцию. Однако, чтобы найденная функция действительно была решением, необ-
ходимо оправдать возможность n-кратного дифференцирования суммы ряда Фурье
y(x) почленно. В этих целях потребуем непрерывной дифференцируемости правой
части q(x). Тогда в силу неравенства (вытекающем из асимптотики P (ik) ∼ p
0
·(ik)
n
при k → ∞)
|P (ik)| > c|k|
m
с некоторым c > 0 , заключаем, что
|y
k
| 6
|σ
k
|
c|k|
n+1
,
где σ
k
— коэффициенты Фурье производной q
0
(x). Последняя оценка позволяет нам
сослаться на теорему 2.25 о дифференцируемости ряда Фурье, из которой и вытекает
n-кратная непрерывная дифференцируемость функции y(x).
Заметим теперь, что построенное решение будет единственным. Действитель-
но, иначе существовало бы нетривиальное 2π-периодическое решение однородного
уравнения
p
0
y
(n)
(x) + p
1
y
(n−1)
(x) + ··· + p
n
y(x) = 0 ,
но, как известно, общее решение последнего уравнения выражается через экспонен-
ты e
λx
, где λ — корни характеристического уравнения
P (z) = 0 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
