Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 57 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
и эти экспоненты могут привести к 2π–периодическому решению только при λ =
ik (k ∈ Z) в противоречии с условием (3.3).
Итак, при непрерывно дифференцируемой правой части условие (3.3) является
условием существования и единственности 2π-периодического решения рассматри-
ваемого дифференциального уравнения (3.1).
Если при некотором целом m
P (im) = 0 ,
уравнение (3.1) будет иметь 2π периодические решения только при условии, что
соответствующий коэффициент Фурье правой части равен нулю: q
m
= 0. При этом
единственность 2π-периодического решения теряется: коэффициент Фурье y
m
может
быть выбран произвольно (здесь также используется тот факт, что экспонента e
imx
является решением однородного уравнения).
Наконец, если при некотором целом m одновременно
P (im) = 0 и q
m
6= 0 ,
периодического решения не существует.
3.2. Задача о колебаниях закрепленной струны
Рассмотрим струну, закрепленную в точках 0 и π на оси x с положением равновесия
по отрезку [0, π]. Если придать струне произвольную начальную форму, заданную,
например, функцией f(x), и затем отпустить, струна начнет колебаться. Требуется
найти форму струны в произвольный последующий момент времени. В математи-
ческой физике выводится следующее уравнение для функции u(x, t), описывающей
форму струны в момент времени t:
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
, (3.4)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
