Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 59 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что ведет к представлению искомого решения в виде
u(x, t) =
∞
X
n=1
b
n
cos(ant) sin(nx) . (3.5)
Однако, чтобы полученная функция u(x, t) была действительно решением, надо обес-
печить возможность дважды непрерывно дифференцировать ряд (3.5) как по t, так
и по x почленно. Например, достаточно потребовать сходимости ряда
∞
X
n=1
|b
n
|n
2
.
Последний ряд заведомо сходится, если функция f(x), например, трижды непрерыв-
но дифференцируема на [0, π] и
f
00
(0) = f
00
(π) = 0 .
В этом случае
b
n
= −
2
πn
3
π
Z
0
f
000
(x) cos nx dx ,
т.е. b
n
· n
2
=
σ
n
n
, где ряд
∞
X
n=1
|σ
n
|
2
сходится.
Заметим далее, что
cos(ant) sin(nx) =
sin n(x −at) + sin n(x + at)
2
и
f(x) =
∞
X
n=1
b
n
sin nx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
