Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 73 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда между любыми двумя нулями решения y
1
уравнения (4.10) находится по
крайней мере один ноль решения y
2
уравнения (4.11):
y
1
(x
1
) = y
1
(x
2
) = 0 , x
1
< x
2
⇒ ∃x
3
∈ [x
1
, x
2
] : y
2
(x
3
) = 0 .
Доказательство. Умножим равенство
y
00
1
+ a
1
y
1
= 0
на y
2
, а равенство
y
00
2
+ a
2
y
2
= 0
на y
1
и вычтем первое из второго. Получим
(y
1
y
0
2
− y
2
y
0
1
)
0
+ (a
2
− a
1
)y
1
y
2
= 0 .
Пусть x
1
и x
2
— смежные корни решения y
1
. Предположим, что в интервале [x
1
, x
2
]
нет корней решения y
2
. Без ограничения общности (в силу однородности уравнений)
можем считать, что y
1
и y
2
неотрицательны на интервале [x
1
, x
2
]. Проинтегрируем
последнее равенство в интервале [x
1
, x
2
], получим
(y
1
y
0
2
− y
2
y
0
1
)
x
2
x
1
+
x
2
Z
x
1
(a
2
− a
1
)y
1
y
2
dx = 0 ,
откуда
−y
2
(x
2
)y
0
1
(x
2
) + y
2
(x
1
)y
0
1
(x
1
) 6 0 .
Но в силу простоты корней решения y
1
и из предположения y
1
> 0 на интервале
[x
1
, x
2
] заключаем, что y
0
1
(x
1
) > 0 и y
0
1
(x
2
) < 0. По предположению, также, y
2
> 0 в
интервале [x
1
, x
2
], т.е.
−y
2
(x
2
)y
0
1
(x
2
) + y
2
(x
1
)y
0
1
(x
1
) > 0 ,
противоречие.

Страницы