Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 71 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Положим
r
n
= f −
n−1
X
k=1
c
k
y
k
,
где c
k
= hf|y
k
i — коэффициенты Фурье функции f, так что y
k
⊥ r
n
при k < n.
Тогда
hL(r
n
)|r
n
i = hL(f)|r
n
i −
n−1
X
k=1
c
k
hL(y
k
)|r
n
i = hL(f)|r
n
i −
n−1
X
k=1
c
k
λ
k
hy
k
|r
n
i,
и в силу hy
k
|r
n
i = 0 получаем
hL(r
n
)|r
n
i = hL(f)|r
n
i.
Считая, что kr
n
k 6= 0, полагаем
r
n
= kr
n
ke
n
,
так что
ke
n
k = 1 , e
n
⊥ y
1
, . . . y
n−1
.
В силу вариационного принципа находим
hL(r
n
)|r
n
i = kr
n
k
2
hL(e
n
)|e
n
i > kr
n
k
2
min
ky k=1 ,
y ⊥y
1
,...y
n−1
hL(y)|yi = λ
n
kr
n
k
2
,
откуда в силу неравенства Шварца
λ
n
kr
n
k
2
6 hL(f)|r
n
i 6 kL(f)k ·kr
n
k,
т.е. ввиду λ
n
→ +∞ при n → ∞
kr
n
k 6
kL(f)k
λ
n
→
n→∞
0 .

Страницы