Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 70 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Положим
I(y) ≡ hL(y)|yi =
b
Z
a
[−(py
0
)
0
+ qy]y dx =
b
Z
a
[py
02
+ qy
2
] dx .
В курсе «Вариационное исчисление» будет показано, см. файл var.pdf, что наи-
меньшее значение квадратичного функционала I(y) при условиях
y(a) = y(b) = 0 , kyk = 1 ,
достигается и равно
min I(y) = λ
1
, λ
1
= I(y
1
) ,
где λ
1
— наименьшее собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–
Лиувилля и y
1
— соответствующая собственная функция, ky
1
k = 1. Более того,
имеет место следующее утверждение, известное как вариационный принцип в про-
блеме собственных значений.
Пусть y
1
, y
2
, . . . y
n−1
— ортонормированная система собственных функций, от-
вечающих первым n − 1 собственным числам задачи Штурма–Лиувилля, располо-
женным в порядке возрастания λ
1
< λ
2
< . . . < λ
n−1
. Тогда наименьшее значение
квадратичного функционала I(y) при условиях
y(a) = y(b) = 0 , kyk = 1 , y ⊥ y
k
∀k = 1, 2, . . . (n − 1) ,
достигается, причем
min I(y) = λ
n
, λ
n
= I(y
n
) ,
где λ
n
— n-ое собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–Лиувилля и
y
n
— соответствующая собственная функция.
Воспользуемся этим принципом для доказательства полноты (замкнутости) си-
стемы собственных функций оператора Штурма–Лиувилля L в пространстве V
1
.

Страницы