Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 68 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных
функций.
4. Различным собственным значениям λ
1
и λ
2
отвечают ортогональные собствен-
ные функции y
1
и y
2
:
hy
1
|y
2
i =
b
Z
a
y
1
y
2
ρdx = 0 .
Действительно,
(λ
1
− λ
2
)hy
1
|y
2
i = hL[y
1
]|y
2
i −hy
1
|L[y
2
]i = 0 .
5. Собственные числа образуют бесконечную монотонно возрастающую последо-
вательность, стремящуюся к бесконечности
λ
1
< λ
2
< . . . < λ
n
< . . . , λ
n
→
n→∞
∞.
Это свойство будет доказано в курсе вариационного исчислениия, см. файл
var.pdf.
Рассмотрим унитарное пространство непрерывных дифференцируемых функций,
удовлетворяющих краевым условиям (4.6), определяя скалярное произведение ра-
венством (4.9). Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля y
n
будем считать
нормированными:
ky
n
k
2
=
b
Z
a
|y
n
(x)|
2
ρ(x) dx = 1 .
Тогда они образуют ортонормированную систему. Коэффициенты Фурье функции
f (из описанного унитарного пространства) относительно такой ортонормированной

Страницы