Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 67 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Для доказательства заметим, сначала, что интегрирование по частям два раза
приводит к равенству
b
Z
a
[qf − (pf
0
)
0
]g dx = pW [f, g]
b
a
+
b
Z
a
f[qg − (pg
0
)
0
] dx .
Если f и g — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции,
удовлетворяющие краевым условиям задачи (т.е. f, g ∈ V
2
), то в силу краевых
условий определитель Вронского W [f, g] обращается в ноль в точках a и b.
9
Введем скалярное произведение и соответствующую норму, полагая
hf|gi =
b
Z
a
fg ρdx , kfk =
p
hf|fi. (4.9)
Тогда полученное выше равенство (при нулевых внеинтегральных членах) при-
мет вид
10
hL[f]|gi = hf|L[g]i.
Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — соб-
ственная функция, отвечающая собственному значению λ, то
λkyk
2
= hL[y]|yi = hy|L[y]i = λkyk
2
,
откуда в силу kyk 6= 0 получаем λ = λ, т.е. λ — вещественно.
Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = λy и вещественности
функций p, ρ и q отдельно вещественная и мнимая части собственной функции
y будут являться решениями этого уравнения.
11
9
Здесь важную роль играет вещественность коэффициентов в краевых условиях.
10
Здесь важную роль играет вещественность функций p и q.
11
В силу предыдущего свойства, эти части, разумеется, пропорциональны.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
