Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 66 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
4.3. Регулярная задача Штурма–Лиувилля
Оператор L (4.4) называется регулярным оператором Штурма–Лиувилля, если
p, ρ > 0. Задача (4.5)–(4.6) называется регулярной, если L — регулярный опера-
тор Штурма–Лиувилля.
Отметим некоторые свойства решений регулярной задачи Штурма–Лиувилля.
1. Корни собственных функций просты.
Действительно, если y(x
0
) = 0 и y
0
(x
0
) = 0, то в силу единственности решения
задачи Коши y(x) ≡ 0.
2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до мно-
жителя собственная функция (т.е. собственные числа оператора Штурма–
Лиувилля — простые).
Действительно, пусть y
1
и y
2
— собственные функции, отвечающие собствен-
ному значению λ. Заметим, что однородная система (относительно переменных
α
0
и α
1
)
(
α
0
y
1
(a) + α
1
y
0
1
(a) = 0 ,
α
0
y
2
(a) + α
1
y
0
2
(a) = 0
имеет нетривиальное решение, что возможно только, если определитель систе-
мы равен нулю. Это означает, что определитель Вронского решений
W [y
1
, y
2
] = y
1
y
0
2
− y
2
y
0
1
равен нулю (в точке a и, следовательно, равен нулю тождественно), откуда и
вытекает линейная зависимость решений y
1
и y
2
.
3. Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. Соответству-
ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
