Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 106 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В силу теоремы существования для решений дифференциальных уравнений в
окрестности любой точки (x
0
, y
0
, z
0
) из области непрерывности функции f суще-
ствует решение уравнения (8.3). Однако общая теория дифференциальных уравне-
ний единственность такого решения гарантирует лишь при дополнительных ограни-
чениях на функцию f; достаточно, например, требовать непрерывной дифференциру-
емости функции f. Последнее можно гарантировать, считая функцию F непрерывно
дифференцируемой три раза.
Если теорема существования и единственности решения задачи Коши для урав-
нения (8.3) имеет место, то, как известно, его общее решение образует двухпара-
метрическое семейство решений
y = y(x, α, β) ,
где α и β — постоянные интегрирования. Можно рассматривать параметры α и β
как переменные начальные данные y
0
и z
0
:
y(x
0
) = y
0
= α , y
0
(x
0
) = z
0
= β .
В этом случае, согласно теореме о гладкой зависимости решений дифференциальных
уравнений от начальных данных, функции y(x, α, β) и y
0
x
(x, α, β) будут являться
непрерывно дифференцируемыми (как функции трех переменных). Заметим также,
что фиксируя α = y
0
мы получим однопараметрическое семейство экстремалей,
проходящих через точку (x
0
, y
0
).
Усилим это простое исследование до следующей теоремы.
Теорема 8.2 (Теорема включения). Всякая неособая экстремаль y = y(x) , x ∈
[x
1
, x
2
], в случае однозначной разрешимости задачи Коши для дифференциально-
го уравнения Эйлера (8.3), содержится в двухпараметрическом семействе экс-
тремалей
y = y(x, α, β) , x ∈ [x
1
− δ, x
2
+ δ] , δ > 0 ,
причем функции y и y
0
x
являются непрерывно дифференцируемыми.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
