Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 107 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Через каждую точку (x
0
, y
0
) неособой экстремали проходит однопараметри-
ческое семейство экстремалей
y = y(x, β) .
Доказательство. В обосновании нуждается лишь область определения семейства.
Построение семейства экстремалей было описано лишь в окрестности каждой точки
x
0
∈ [x
1
, x
2
]. Объединение всех этих окрестностей покрывает интервал [x
1
, x
2
]. По
лемме Гейна–Бореля, см. дополнение B, уже некоторое конечное число таких окрест-
ностей будет покрывать интервал [x
1
, x
2
]. Фиксируем такое конечное объединение.
Рассмотрим окрестность точки x
1
и следующую за ней. В пересечении этих двух
соседних окрестностей локальные семейства экстремалей в силу теоремы существо-
вания и единственности для дифференциальных уравнений обязаны совпадать. Это
позволяет продолжить локальное семейство экстремалей с первой окрестности на
объединение ее со второй. Повторив этот процесс продолжения несколько раз мы
за конечное число шагов достигнем второго конца экстремали y(x), включая ее в
описанное теоремой семейство экстремалей, см. рис. 11.
Замечание 8.3. При доказательстве теоремы была допущена определенная воль-
ность речи. Строго говоря, следовало бы говорить об окрестностях точек
(x
0
, y(x
0
), y
0
(x
0
)), которые покрывают кривую {(x, y(x), y
0
(x)) | x ∈ [x
1
, x
2
]}. Суть
доказательства при этом не меняется. Подобные оговорки следует иметь в виду и в
дальнейшем.
8.2. Канонические уравнения
В действительности специфика уравнения (8.3) позволяет доказать единственность
его решения без дополнительных предположений относительно гладкости функции
F . То, как это делается имеет самостоятельное значение.

Страницы