Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 110 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
которой удовлетворяет любая неособая экстремаль. Подчеркнем, что функции P и Q
являются непрерывно дифференцируемыми и, как следствие, система (8.7) удовле-
творяет теореме существования и единственности решения соответствующей задачи
Коши.
Подчеркнем, также, что система (8.7) эквивалентна уравнению Эйлера–
Лагранжа. Действительно, если (y, p) является решением этой системы, то в силу
определения функции P
F
0
y
0
(x, y, P ) = p .
Дифференцирование этого тождества по x ведет к уравнению Эйлера–Лагранжа:
d
dx
∂F
∂y
0
=
dp
dx
= Q =
∂F
∂y
.
По результатам предыдущего пункта заключаем, что y-составляющая решения
системы (8.7) порождает двухпараметрическое семейство экстремалей y = y(x, α, β).
В качестве параметров семейства удобно выбрать начальные данные (y
0
, p
0
), отне-
сенные к некоторой точке x
0
∈ [x
1
, x
2
]. Отметим следующее утверждение.
Теорема 8.4. Определитель
y
0
α
y
0
β
y
00
xα
y
00
xβ
не равен нулю на всем протяжении регулярной экстремали y = y(x, α
0
, β
0
).
Доказательство. Если y(x, α, β) , p(x, α, β) — двухпараметрическое семейство ре-
шений системы (8.7), то
p
0
α
=
∂p
∂α
=
∂
∂α
∂F
∂y
0
=
∂
2
F
∂y∂y
0
·
∂y
∂α
+
∂
2
F
∂y
02
·
∂y
0
∂α
= F
00
y y
0
y
0
α
+ F
00
y
0
y
0
y
00
xα
и аналогично
p
0
β
= F
00
y y
0
y
0
β
+ F
00
y
0
y
0
y
00
xβ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
