Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 116 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
при этом
y(x
2
(t), λ(t)) ≡ y
2
(t) .
Функции x
1
, x
2
, λ будут считаться непрерывно дифференцируемыми на всем ин-
тервале изменения параметра t ∈ [a, b]. Функции y = y(x, λ) и y
0
= y
0
x
(x, λ) будут
считаться непрерывными (в частности, кривая Γ не имеет угловых точек) и непре-
рывно дифференцируемыми по λ. Наконец, функция Лагранжа F (x, y, z) полагается
дважды непрерывно дифференцируемой.
Рассматриваемый интеграл I имеет, таким образом, вид
I(t) =
x
2
(t)
Z
x
1
(t)
F (x, y(x, λ(t)), y
0
x
(x, λ(t))) dx ,
или кратко
I(t) =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx .
Найдем производную этого интеграла по параметру t. Согласно правилу (3.8)
получаем
dI
dt
= F (x
2
, y
2
, y
0
x
(x
2
, λ))
dx
2
dt
− F (x
1
, y
1
, y
0
x
(x
1
, λ))
dx
1
dt
+
x
2
Z
x
1
dF
dt
dx ,
где
dF
dt
=
∂F
∂y
·
∂y
∂λ
·
dλ
dt
+
∂F
∂z
·
∂y
0
x
∂λ
·
dλ
dt
.
Условимся записывать это в виде
dI
dt
=
h
F
dx
dt
i
γ
2
γ
1
+
dλ
dt
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
·
∂y
∂λ
+
∂F
∂y
0
·
∂
2
y
∂λ∂x
dx . (8.12)

Страницы