Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 117 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если какая–либо кривая Γ рассматриваемого семейства является экстремалью,
т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера
d
dx
∂F
∂y
0
=
∂F
∂y
,
то для нее (в силу уравнения Эйлера)
∂F
∂y
·
∂y
∂λ
+
∂F
∂y
0
·
∂
2
y
∂x∂λ
=
d
dx
∂F
∂y
0
·
∂y
∂λ
+
∂F
∂y
0
·
d
dx
∂y
∂λ
=
d
dx
∂F
∂y
0
·
∂y
∂λ
,
и, как следствие, для этой кривой в силу (8.12)
dI
dt
=
h
F
dx
dt
+
∂F
∂y
0
·
∂y
∂λ
·
dλ
dt
i
γ
2
γ
1
. (8.13)
Остается воспользоваться равенствами
dy
1
dt
=
∂y
dx
·
dx
1
dt
+
∂y
∂λ
·
dλ
dt
и
dy
2
dt
=
∂y
dx
·
dx
2
dt
+
∂y
∂λ
·
dλ
dt
,
что позволит переписать (8.13) в окончательном форме
dI
dt
=
h
F
dx
dt
+
∂F
∂y
0
·
dy
dt
−
∂y
∂x
·
dx
dt
i
γ
2
γ
1
, (8.14)
или в раскрытом виде
I
0
(t) = F (x
2
, y
2
, y
0
x
(x
2
, λ)) · x
0
2
+ F
0
y
0
(x
2
, y
2
, y
0
x
(x
2
, λ)) · [y
0
2
− y
0
x
(x
2
, λ) · x
0
2
]
− F (x
1
, y
1
, y
0
x
(x
1
, λ)) · x
0
1
− F
0
y
0
(x
1
, y
1
, y
0
x
(x
1
, λ)) · [y
0
1
− y
0
x
(x
1
, λ) · x
0
1
] .

Страницы