Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 119 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где мы для наглядности положили I(b) = I{Γ
BD
} и I(a) = I{Γ
AC
}. Функция на-
клона z = z(x, y) определяется исключением параметра λ из равенств
(
z = y
0
x
(x, λ) ,
y = y(x, λ) ,
и называется функцией наклона семейства экстремалей.
В дальнейшем всегда, если не оговорено противное, интеграл Гильберта бу-
дет рассматриваться с функцией наклона равной функции наклона некоторого
семейства экстремалей. Если из контекста будет ясно, о какой функции наклона
идет речь, в обозначении интеграла Гильберта она будет опускаться:
U{γ} = U{γ; z}.
Подведем итог в следующей теореме.
Теорема 8.5. Если концы переменной экстремали описывают две кривые γ
1
и γ
2
,
то разность значений интеграла I, взятого вдоль конечного Γ
2
и начального Γ
1
положений экстремали равна разности значений интеграла Гильберта, соот-
ветствующего конечной γ
2
и начальной γ
1
концевой кривой и функцией наклона
z равной функции наклона семейства экстремалей z = y
0
x
:
I{Γ
2
} − I{Γ
1
} = U {γ
2
} − U{γ
1
}.
Заметим, что теорема остается верной, если какая–либо из концевых кривых
γ
1,2
(или обе сразу) вырождается в точку (экстремали с закрепленными концами).
Интеграл Гильберта U{γ} называется инвариантным в следствие следующего
своего свойства. Если деформировать контур интегрирования γ удерживая концы
интегрирования, интеграл U не изменяется. Это сразу вытекает из формулы (8.16),
если в ней положить γ = γ
2
, а контур γ
1
стянуть в точку, так что U{γ
1
} = 0.
Действительно, в этом случае
U{γ} = I{Γ
2
} − I{Γ
1
}
и правая часть равенства не зависит от формы кривой γ.

Страницы