Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 121 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Здесь Γ
AB
часть экстремали Γ
1
между точек A и B, Γ
AC
часть экстремали Γ
2
между точек A и C, γ
BC
часть огибающей γ между точек B и C.
Доказательство. Рассмотрим семейство экстремалей, проходящих через точку A.
Согласно теореме (8.5)
I{Γ
AC
} − I{Γ
AB
} = U {γ
BC
} − U{γ
AA
},
где z = y
0
x
. Но интеграл Гильберта U{γ
AA
} равен нулю в силу вырождения контура
интегрирования в точку. А условия касания экстремалей y = y(x, λ) и огибающей
γ :
(
x = x(t) ,
y = y(t) ,
где t ∈ [a, b], приводят к равенству производной
dy
dx
=
y
0
(t)
x
0
(t)
вдоль огибающей и функции направления z = y
0
x
(x, λ(t)), что влечет за собой ра-
венство интегралов
U{γ
BC
} =
b
Z
a
F (x, y, y
0
x
) · x
0
+ F
0
z
(x, y, y
0
x
) · [y
0
− y
0
x
· x
0
]
dt
=
b
Z
a
F (x, y, y
0
x
) · x
0
dt =
Z
γ
BC
F (x, y, y
0
x
) dx = I{γ
BC
}.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
