Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 122 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Аналогичное утверждение можно сформулировать для экстремалей со свободным
концом. Напомним, что экстремаль пересекает кривую γ
1
, заданную уравнениями
γ
1
:
(
x = x
1
(t) ,
y = y
1
(t) ,
трансверсально, если
F (x
1
, y
1
, y
0
x
(x
1
)) · x
0
1
+ F
0
z
(x
1
, y
1
, y
0
x
(x
1
)) · [y
0
1
− y
0
x
(x
1
) · x
0
1
] = 0 .
Это в точности означает, что если семейство экстремалей y(x, λ) пересекает кривую
γ
1
трансверсально, то интеграл Гильберта вдоль γ
1
с функцией наклона z = y
0
x
равен
нулю. И тогда как и выше мы получаем
Теорема 8.7 (Об огибающей и трансверсальной). Если однопараметрическое
семейство экстремалей трансверсально пересекает кривую γ
1
и имеет огибаю-
щую γ, см. рис. 14, то
I{Γ
CD
} = I{Γ
AB
} + I{γ
BD
}
при любом положении точки B, если она предшествует точке D на кривой γ.
Здесь Γ
AB
часть экстремали Γ
1
между точек A и B, Γ
CD
часть экстремали Γ
2
между точек C и D, γ
BD
часть огибающей γ между точек B и D.
Определение 8.8. Центральным называется семейство экстремалей с общей на-
чальной точкой. Точка касания экстремали и огибающей данного центрального се-
мейства называется точкой, сопряженной с начальной точкой экстремали.
Определение 8.9 (Условие Якоби). Говорят, что неособая экстремаль удовлетво-
ряет условию Якоби, если между началом и концом этой экстремали нет точек,
сопряженных с начальной.

Страницы