Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 124 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 8.10 (Необходимое условие Якоби). Если неособая кривая без угловых
точек сообщает минимум функционалу I, она является экстремалью, удовле-
творяющей условию Якоби.
Доказательство. Неособая гладкая кривая y(x), дающая минимум функционалу I,
является экстремалью, однозначно определенной любыми своими начальными дан-
ными (x
0
, y(x
0
), y
0
(x
0
)). Пусть эта экстремаль Γ
AD
имеет сопряженную точку C с
начальной точкой A, см. рис. 13. Из теоремы об огибающей вытекает, что составная
кривая Γ
AB
∪ γ
BC
∪ Γ
CD
(при любом выборе точки B, предшествующей точке C)
также сообщает интегралу I минимум и является, тем самым, еще одной экстре-
малью, проходящей через точку C, с тем же наклоном, что и экстремаль Γ
AD
, что
противоречит единственности (с начальной точкой C).
Далее мы опишем условие Якоби с аналитических позиций.
8.5. Вторая вариация интегрального функционала
Вернемся к анализу интегрального функционала I,
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx . (8.17)
Функцию F (x, y, z) будем считать дважды непрерывно дифференцируемой.
Что еще можно сказать о непрерывно дифференцируемой функции y(x) (с за-
крепленными концами), на которой функционал I достигает наименьшего значения?
Как и ранее, фиксируем вариацию функции y, в данном случае — непрерывно
дифференцируемую функцию η, обращающуюся в ноль на концах интервала [x
1
, x
2
],
и составим интеграл
I(t) =
x
2
Z
x
1
F (x, y + tη, y
0
+ tη
0
) dx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
