Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 125 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Функция I(t) при t = 0 достигает минимума. Как следствие, помимо
δI[η] = I
0
(0) = 0 ,
имеем
δ
2
I[η] = I
00
(0) > 0 ,
т.е. вторая вариация функционала I должна быть неотрицательной.
Нетрудно вычислить эту производную.
I
0
(t) =
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
· η +
∂F
∂y
0
· η
0
dx ,
откуда
I
00
(t) =
x
2
Z
x
1
∂
2
F
∂y
2
· η
2
+ 2
∂
2
F
∂y∂y
0
· ηη
0
+
∂
2
F
∂y
02
· η
02
dx .
В выписанных выражениях производные функции F нужно рассматривать как функ-
ции переменных (x, y+tη, y
0
+tη
0
). Полагая t = 0 мы приходим к формуле для второй
вариации
I
00
(0) =
x
2
Z
x
1
∂
2
F
∂y
2
· η
2
+ 2
∂
2
F
∂y∂y
0
· ηη
0
+
∂
2
F
∂y
02
· η
02
dx , (8.18)
где производные функции F зависят от аргумента (x, y, y
0
).
Предположим теперь, что функция F — трижды непрерывно дифференцируема
и проинтегрируем по частям во втором слагаемом
x
2
Z
x
1
2
∂
2
F
∂y∂y
0
ηη
0
dx =
x
2
Z
x
1
∂
2
F
∂y∂y
0
dη
2
=
∂
2
F
∂y∂y
0
· η
2
x=x
2
x=x
1
−
x
2
Z
x
1
d
dx
∂
2
F
∂y∂y
0
· η
2
dx .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
