Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 127 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
то производная по параметру η = y
0
λ
удовлетворяет уравнению
∂f
∂y
η +
∂f
∂y
0
η
0
+
∂f
∂y
00
η
00
= 0 , (8.22)
которое получается просто дифференцированием равенства (8.21) по параметру λ и
называется уравнением в вариациях по отношению к исходному уравнению (8.21).
Смысл уравнения в вариациях определяется следующим. В соответствии с равен-
ством
y(x, λ) = y(x, 0) + y
0
λ
(x, 0)λ + o(λ) , λ → 0 ,
и линейностью уравнения (
8.22), если η достаточно мало, то функция y+η в старшем
порядке также будет удовлетворять дифференциальному уравнению (8.21).
Можно заметить, что уравнение Якоби является уравнением в вариациях по
отношению к уравнению Эйлера–Лагранжа. Для облегчения проверки этого утвер-
ждения воспользуемся стандартным соглашением обозначать частные производные
функции только соответствующими индексами. В этом случае уравнение Эйлера (в
раскрытом виде) примет вид
F
y
− F
xy
0
− F
y y
0
y
0
− F
y
0
y
0
y
00
= 0 , (8.23)
а коэффициенты в уравнение Якоби (также в раскрытом виде) запишутся как
A = F
y y
− F
xy y
0
− F
y yy
0
y
0
− F
y y
0
y
0
y
00
,
B = F
y
0
y
0
,
dB
dx
= F
xy
0
y
0
+ F
y y
0
y
0
y
0
+ F
y
0
y
0
y
0
y
00
.
Составляя уравнение в вариациях (8.22) для уравнения (8.23), получим
[F
y y
− F
xy y
0
− F
y yy
0
y
0
− F
y y
0
y
0
y
00
]η
+ [F
y y
0
− F
xy
0
y
0
− F
y y
0
y
0
y
0
− F
y y
0
− F
y
0
y
0
y
0
y
00
]η
0
+ [−F
y
0
y
0
]η
00
= 0 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- …
- следующая ›
- последняя »
