Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 128 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что в точности и является, как видим, уравнением Якоби
Aη −
dB
dx
· η
0
− Bη
00
= 0 .
8.6. Аналитический вариант условия Якоби
Рассмотрим уравнение Якоби
Aη −
d
dx
Bη
0
= 0 , (8.24)
где функция η удовлетворяет нулевым граничным условиям
η(x
1
) = η(x
2
) = 0 .
Подчеркнем, что коэффициенты определяются равенствами
A =
∂
2
F
∂y
2
−
d
dx
∂
2
F
∂y∂y
0
,
B =
∂
2
F
∂y
02
,
на экстремали y(x), удовлетворяющей уравнению Эйлера с функцией Лагранжа
F (x, y, y
0
). В этом смысле уравнение Якоби называют иногда присоединенным урав-
нением к уравнению Эйлера–Лагранжа.
Определение 8.11. Точка (x
0
, y
0
), на экстремали y(x) (т.е. y
0
= y(x
0
)) называется
сопряженной с точкой (x
1
, y
1
) (началом экстремали), если уравнение Якоби имеет
решение η, обращающееся в ноль в точке x
0
, но не равное нулю тождественно на
интервале [x
1
, x
0
].
Теорема 8.12. Необходимое условие Якоби 8.10 выполнено при новом его понима-
нии и новом определении сопряженной точки.

Страницы