Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 130 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Это означает, что функция ξ также доставляет наименьшее значение функционалу
δ
2
I и должна в угловой точке удовлетворять условию Вейерштрасса–Эрдмана (7.2):
∂L
∂ξ
0
x=x
0
−0
=
∂L
∂ξ
0
x=x
0
+0
,
что ведет к равенству
B(x
0
)η
0
(x
0
) = B(x
0
)ξ
0
(x
0
− 0) = B(x
0
)ξ
0
(x
0
+ 0) = 0 .
В силу регулярности экстремали y(x)
B =
∂
2
F
∂y
02
6= 0 ,
откуда
η
0
(x
0
) = 0 .
Но последнее означает, что η является решение линейного однородного уравнения
второго порядка с нулевыми начальными условиями
η(x
0
) = 0 , η
0
(x
0
) = 0 ,
и, следовательно, равно нулю тождественно, в противоречии с аналитическим опре-
делением сопряженной точки. Следовательно предположение о существовании со-
пряженной точки не допустимо.
Мы покажем далее, что геометрическое 8.8 определение сопряженной точки по-
глощается вторым аналитическим 8.11 определением, а при некотором дополнитель-
ном условии верно и обратное включение. Вместе с тем эти определения сопряжен-
ных точек и соответствующие варианты условия Якоби не вполне тождественны.
Второе определение не предполагает, например, даже существования огибающей. В
то же время первый вариант условия Якоби может быть расширен на случай совпа-
дения сопряженной точки со вторым концом экстремали, в то время как для второго

Страницы