Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 131 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
варианта внутреннее положение сопряженной точки совершенно необходимо. В этом
смысле они дополняют друг друга.
Итак, покажем, что сопряженная точка в смысле геометрического определе-
ния является также сопряженной в смысле аналитического определения. Пусть
y = y(x, λ) — семейство экстремалей, проходящих через точку (x
1
, y
1
) и имею-
щих огибающую. Пусть огибающая касается кривой семейства y(x, λ) в точке x(λ).
Тогда уравнение огибающей запишется в виде
x = x(λ) , y = y(x(λ), λ) .
В силу закрепленной начальной точки экстремалей имеем
y
0
λ
(x
1
, λ) = 0 .
Кроме того, в силу условия касания экстремалей и огибающей тангенсы угла наклона
касательной к экстремали
y
0
x
и огибающей
dy
dλ
dx
dλ
=
y
0
x
· x
0
λ
+ y
0
λ
x
0
λ
,
отнесенных к одной и той же точке x(λ) равны между собой. Как следствие
y
0
λ
(x(λ), λ) = 0 .
Так как уравнение Якоби является уравнением в вариациях, см. (8.22), функция
y
0
λ
(x, λ)
при фиксированном λ является решением уравнения Якоби. Эта функция обраща-
ется в ноль не только в точке x
1
, но и в точке x(λ). Если теперь функция y
0
λ
не
обращается тождественно в ноль на интервале [x
1
, x(λ)], то точка с абсциссой x(λ),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- …
- следующая ›
- последняя »
