Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 133 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
или подробнее
B(t)[ξ(t)η
0
(t) − ξ
0
(t)η( t)] = B(x
1
)[ξ(x
1
)η
0
(x
1
) − ξ
0
(x
1
)η (x
1
)] .
В силу граничных условий ξ(x
1
) = η(x
1
) = η(t) = 0, откуда
B(t)η
0
(t)ξ(t) = 0 .
Остается заметить, что, во-первых, по условию регулярности B(t) 6= 0 и, во-вторых, η
0
(t) 6= 0 (иначе функция η была
бы тождественным нулем). Таким образом остается ξ( t) = 0, что и утверждалось.
Итак, равенство (8.25) установлено. Предположим, что
y
00
xλ
(x(λ), λ) 6= 0 ,
что является типичным, см. теорему 8.4. Тогда в силу теоремы о неявной функции
уравнение
y
0
λ
(x, λ) = 0
разрешимо относительно x (что уже известно) и решение x(λ) является непрерыв-
но дифференцируемой функцией от λ (что важно). Рассмотрим гладкую кривую,
заданную параметрически
(
x = x(λ) ,
y = y(x(λ), λ) .
Коэффициент наклона касательной к этой кривой в силу (8.25) равен
dy
dλ
dx
dl
=
y
0
x
· x
0
λ
+ y
0
λ
x
0
λ
= y
0
x
,
т.е. совпадает с коэффициентом наклона касательной к экстремали семейства в той
же точке, и значит построенная кривая является огибающей семейства экстремалей.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 8.13. Соответствие x
∗
= ϕ(x), где x
∗
— точка, сопряженная с точкой
x, x
∗
> x, является монотонно возрастающей и непрерывной функцией.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
