Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 135 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствие 8.14. Если экстремаль y = y(x) , x ∈ [x
1
, x
2
] не имеет точки, сопря-
женной с точкой x
1
, то на продолжении экстремали влево от точки x
1
суще-
ствует точка x
0
такая, что продолженная экстремаль y = y(x) , x ∈ [x
0
, x
2
]
также не имеет точки, сопряженной с начальной точкой x
0
.
Доказательство. Функция ϕ(x), определяющая сопряженные точки точкам x, на
интервале [x
1
, x
2
] принимает значения строго большие x
2
(в силу отсутствия сопря-
женных точек на интервале [x
1
, x
2
]):
x ∈ [x
1
, x
2
] ⇒ ϕ(x) > x
2
.
Следовательно, в силу непрерывности она строго больше x
2
и на некотором расши-
ренном интервале [x
0
, x
2
] , x
0
< x
1
.
8.7. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра
Вернемся к понятию инвариантного интеграла Гильберта. Напомним, что интеграл
Гильберта
U{γ; z} =
Z
γ
F (x, y, z(x, y))dx + F
0
z
(x, y, z(x, y)) · [dy − z(x, y)dx] , (8.27)
не зависит от формы кривой γ (но не от ее концов). Напомним, что функция на-
клона z предполагается равной функции наклона y
0
x
семейства экстремалей, см.
стр. 119.
Пусть γ — экстремаль y = y(x), доставляющая минимум функционалу I[y] с
функцией Лагранжа F (x, y, z) для задачи с закрепленными концами в точках (x
1
, y
1
)
и (x
2
, y
2
) и вложенная в семейство экстремалей y = y(x, λ). Для любой гладкой
кривой Γ, концы которой совпадают с концами экстремали γ, выполнено равенство
U{Γ} = U{γ}.

Страницы