Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 136 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Однако на экстремалях интегралы U и I, очевидно, совпадают:
U{γ} = I[y] .
Если кривая Γ описывается равенством
y = Y (x) ,
то находим
∆I[y] = I[Y ] − I[y] = I[Y ] − U{γ} = I[Y ] − U{Γ},
или иначе
∆I[y] =
x
2
Z
x
1
[F (x, Y, Y
0
) − F (x, Y, z) − F
0
z
(x, Y, z) · (Y
0
− z)] dx . (8.28)
Подчеркнем, что в этой формуле z = z(x, Y (x)) равно коэффициенту наклона y
0
x
кривой семейства экстремалей, взятому в точке сравнимой кривой Y . Если ввести
функцию Вейерштрасса
E(x, y, u, v) = F (x, y, v) − F (x, y, u) − F
0
u
(x, y, u) · (v −u) , (8.29)
последний интеграл перепишется в виде
∆I[y] =
x
2
Z
x
1
E(x, Y, z, Y
0
) dx . (8.30)
Именно на этом представлении будет основываться вывод достаточных условий экс-
тремума. Однако предварительно установим последние два из необходимых условий.
Нетрудно получить следующее необходимое условие

Страницы