Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 137 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 8.15 (Необходимое условие Вейерштрасса). Если функция y = y(x)
доставляет минимум функционалу I в классе непрерывных, кусочно непрерывно
дифференцируемых функций, то
E(x, y(x), y
0
(x), Y
0
(x)) > 0
для каждой неугловой точки (x, y(x)) при любом значении Y
0
(x).
Доказательство. Фиксируем неугловую точку (x
0
, y(x
0
)) минимизирующей экстре-
мали. Предположим, что
E(x
0
, y(x
0
), y
0
(x
0
), Y
0
(x
0
)) < 0 .
Тогда в силу непрерывности функции Вейерштрасса она будет отрицательной и
во всех достаточно близких точках к точке (x
0
, y(x
0
), y
0
(x
0
), Y
0
(x
0
)). Выпустим из
точки A = (x
0
, y(x
0
)) прямую с наклоном Y
0
(x
0
):
y = y(x
0
) + Y
0
(x
0
) · (x − x
0
)
и фиксируем на этой прямой точку B = (b, v) такую, чтобы на всем отрезке от A до
B функция Вейерштрасса была отрицательна.
Выберем правее точки A точку C на минимизирующей кривой так, чтобы дуга
γ
AC
не содержала угловых точек и чтобы точка C не являлась сопряженной с точкой
A. Согласно теореме 8.2 о включении экстремали в семейство экстремалей, а также
согласно выбору точки C существует семейство экстремалей y(x, λ), соединяющих
точку C с точками отрезка AB, см. рис. 15. Тогда в соответствии с теоремой (8.5)
и в силу U {CC} = 0,
I{γ
BC
} − I{γ
AC
} = −U {AB},
где γ
BC
и γ
AC
— конечная и начальная экстремали семейства. Прибавляя к каждой
части полученного равенства интеграл I{AB}, получим
I{AB ∪ γ
BC
} − I{γ
AC
} =
b
Z
x
0
E(x
0
, y(x
0
+ Y
0
(x
0
)(x − x
0
)), y
0
x
, Y
0
(x
0
)) dx ,

Страницы