Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 139 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствие 8.16 (Необходимое условие Лежандра). Если регулярная экстремаль
y = y(x) доставляет минимум функционалу I, то на всем ее протяжении
∂
2
F
∂y
02
> 0 .
Доказательство. Напишем формулу Тейлора для функции Вейерштрасса
E(x, y(x), y
0
(x), Y
0
(x))
в точке (x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)). Тогда
E(x, y(x), y
0
(x), Y
0
(x)) = E(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x))
+ E
0
Y
0
(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)) · (Y
0
− y
0
)
+ E
00
Y
0
Y
0
(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)) · (Y
0
− y
0
)
2
+ o((Y
0
− y
0
)
2
) .
Остается заметить, что
E(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)) = 0 ,
E
0
Y
0
(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)) = F
0
y
0
(x, y(x), y
0
(x)) − F
0
y
0
(x, y(x), y
0
(x)) = 0 ,
E
00
Y
0
Y
0
(x, y(x), y
0
(x), y
0
(x)) = F
00
y
0
y
0
(x, y(x), y
0
(x)) ,
откуда вытекает неотрицательность F
00
y
0
y
0
(x, y(x), y
0
(x)). Однако равенство нулю ис-
ключается ввиду условия регулярности.
Замечание 8.17. Отметим, что если обобщение условия регулярности на случай
нескольких искомых функций выглядит, как невырожденность матрицы
det
∂
2
F
∂y
0
i
∂y
0
j
!
6= 0 ,

Страницы