Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 141 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 8.18. Пусть D — ограниченная связная область на плоскости xy.
Говорят, что непрерывно дифференцируемая функция z(x, y) определяет поле на-
правлений (1, z(x, y)) в области D для функционала I[y], если каждое решение
дифференциального уравнения
y
0
= z(x, y)
является экстремалью функционала I[y]. Так полученное семейство экстремалей
называется полем экстремалей.
Отметим, что в согласии с теоремой существования и единственности решений
дифференциальных уравнений, поле экстремалей действительно однократно покры-
вает область определения D.
Определение 8.19. Говорят, что экстремаль y = y(x) вложена в поле экстремалей,
если область определения соответствующего поля направлений является окрестно-
стью графика данной экстремали и функция y(x) является решением дифференци-
ального уравнения этого поля.
Теорема 8.20. Если однопараметрическое семейство экстремалей y = Y (x, λ),
дважды непрерывно дифференцируемое по x и λ (в действительности доста-
точно непрерывности функций Y
00
xx
и Y
00
xλ
) в области D для значений x ∈ (a, b) и
λ ∈ (α, β), содержит экстремаль y = Y (x, λ
0
) ≡ y
0
(x) такую, что Y
0
λ
(x, λ
0
) 6= 0
при всех x ∈ [x
1
, x
2
] ⊂ (a, b), то эта экстремаль для значений x ∈ [x
1
, x
2
] может
быть вложена в поле экстремалей.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
y = Y (x, λ)
в окрестности точки (x, y
0
(x), λ
0
), где x ∈ [x
1
, x
2
]. В силу теоремы о неявной функ-
ции (здесь важно, что Y
0
λ
(x, λ
0
) 6= 0 и в силу непрерывности это неравенство
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
