Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 143 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
вой окрестности на объединение ее со второй. Повторив этот процесс продолжения
несколько раз мы за конечное число шагов достигнем второго конца экстремали
y = y
0
(x) и определим функцию Λ в некоторой окрестности U этой экстремали,
точнее, в окрестности графика кривой (x, y
0
(x), λ
0
), где x ∈ [x
1
, x
2
]. Окрестность U
можно представлять в виде
U = U
xy
× (λ
0
− ε, λ
0
+ ε) ,
где U
xy
— окрестность графика экстремали y = y
0
(x). Тогда функция Λ будет
определена на U
xy
и принимать значения в интервале (λ
0
− ε, λ
0
+ ε). Заметим,
что функция Λ является непрерывно дифференцируемой (и даже дважды), как это
следует из теоремы о неявной функции и равенств
∂Λ
∂x
= −
∂Y
∂x
∂Y
∂λ
,
∂Λ
∂y
=
1
∂Y
∂λ
.
В окрестности U
xy
рассмотрим функцию
z(x, y) = Y
0
x
(x, Λ(x, y)) .
Эта функция является непрерывно дифференцируемой, т.к.
∂z
∂x
=
∂
2
Y
∂x
2
+
∂
2
Y
∂x∂λ
·
∂Λ
∂x
,
∂z
∂y
=
∂
2
Y
∂x∂λ
·
∂Λ
∂y
.
Как следствие, дифференциальное уравнение
y
0
= z(x, y)
удовлетворяет теореме существования и единственности решения задачи Коши. Но
по построению экстремали семейства y = Y (x, λ) удовлетворяют этому уравнению:
y
0
= Y
0
x
(x, λ) , z(x, Y (x, λ)) = Y
0
x
(x, Λ(x, Y (x, λ))) = Y
0
x
(x, λ) ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
