Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 144 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
и при λ = λ
0
содержат экстремаль y = y
0
(x). Это в точности и означает, что
построенная выше окрестность кривых семейства Y (x, λ), графики которых лежат в
U
xy
, для значений параметра λ в интервале (λ
0
−ε, λ
0
+ε) образует поле экстремалей,
в которое вложена экстремаль y = y
0
(x).
8.9. Достаточные условия Вейерштрасса
Принято различать два типа минимумов (максимумов) интегральных функционалов.
Определение 8.21. Значение I[y] функционала I называется сильным относитель-
ным минимум, если функция y дает наименьшее значение интеграла I в классе
функций, равномерно близких к y, т.е. если при некотором ε > 0 имеет место им-
пликация
ky − Y k
C
= max
x∈[x
1
,x
2
]
|y(x) − Y (x)| < ε ⇒ I[y] 6 I[Y ] .
Как уже отмечалось ранее, равномерную ε-окрестность кривой y = y(x) мож-
но представлять себе как часть плоскости, покрываемую кривыми y = Y (x), для
которых вертикальное отклонение от кривой y = y(x) меньше чем ε, см. рис. 5.
Определение 8.22. Значение I[y] функционала I называется слабым относитель-
ным минимум, если функция y дает наименьшее значение интеграла I в классе
функций, близких к y в смысле C
1
-нормы, т.е. если при некотором ε > 0 имеет
место импликация
ky − Y k
C
1
= max
x∈[x
1
,x
2
]
|y(x) − Y (x)|+ max
x∈[x
1
,x
2
]
|y
0
(x) − Y
0
(x)| < ε ⇒ I[y] 6 I[Y ] .
Ясно, что C
1
-окрестность функции y образуют только те функции из равномерной
окрестности, которые в каждой точке не слишком сильно (а правильнее сказать
— очень незначительно) отклоняются от направления функции y. На рис. 17 обе
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
