Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 134 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть η
1
и η
2
— фундаментальная система решений уравнения
Якоби (8.24). Монотонность функции ϕ является следствием теоремы Штурма. Дей-
ствительно, если x
1
< x
∗
1
— соседние корни решения η
1
, а x
2
< x
∗
2
— соседние корни
решения η
2
, то неравенство x
1
< x
2
< x
∗
1
влечет за собой неравенство x
∗
1
< x
∗
2
, так
как согласно теореме Штурма между двумя соседними корнями одного решения на-
ходится лишь один единственный корень любого другого решения, линейно незави-
симого с данным. Это означает, что функция ϕ является монотонной в окрестности
каждой точки и, следовательно, монотонной всюду.
Заметим, далее, что линейная комбинация
η(x) = η
2
(x
0
)η
1
(x) − η
1
(x
0
)η
2
(x) ≡ w(x, x
0
) ,
является решением уравнения Якоби, обращающемся в ноль в точке x
0
. Сопряжен-
ная точка с точкой x
0
будет определяться равенством
η(x
∗
0
) = 0 .
Заметим, что в силу простоты корней,
η
0
(x
∗
0
) 6= 0 .
Иначе говоря, сопряженные точки x
∗
удовлетворяют уравнению
w(x
∗
, x) = 0 ,
причем
∂w
∂x
∗
6= 0 .
По теореме о неявной функции в окрестности каждой точки (x, x
∗
) существует
функция
x
∗
= ϕ(x) .
В силу непрерывной дифференцируемости функции w функция ϕ также является
непрерывно дифференцируемой (в частности — непрерывной).

Страницы