Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 132 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
являющаяся сопряженной к точке (x
1
, y
1
) в смысле геометрического определения,
будет таковой и в смысле аналитического определения.
Докажем обратное, предполагая что каждая кривая семейства экстремалей y =
y(x, λ), начинающихся в точке (x
1
, y
1
), имеет сопряженную точку (x(λ), y(x(λ), λ))
в смысле аналитического определения. Пусть η(x, λ) — решение уравнение Якоби с
нулевыми граничными условиями и обращающееся в ноль в точке x(λ). Заметим,
что функция y
0
λ
(x, λ) также является решением уравнения Якоби с нулевыми гра-
ничными условиями. Как следствие, определитель Вронского функций y
0
λ
и η равен
нулю в точке x
1
, а значит в условиях регулярности (т.е. при B 6= 0) равен нулю
тождественно. Это означает, что (вариант теоремы Штурма)
y
0
λ
(x(λ), λ) = 0 . (8.25)
Напомним для полноты изложения доказательство этого утверждения. Положим η(x, λ) = η(x) и y
0
λ
(x, λ) =
ξ(x). Тогда
Aξ − (Bξ
0
)
0
= 0 | × η ,
Aη − (Bη
0
)
0
= 0 | × ξ .
Вычитая (после умножения) из первого равенства второе, находим
ξ(B
0
η
0
+ Bη
00
) − η( B
0
ξ
0
+ Bξ
00
) = 0 . (8.26)
Введем определитель Вронского
W =
ξ η
ξ
0
η
0
= ξη
0
− ξ
0
η .
При этом
W
0
= ξ
0
η
0
+ ξη
00
− ξ
00
η − ξ
0
η
0
= ξη
00
− ξ
00
η ,
так что уравнение (8.26) примет вид
B
0
W + BW
0
= 0 ,
т.е.
(BW )
0
= 0 .
Проинтегрируем полученное равенство в пределах от x
1
до t = x(λ). Тогда
(BW )|
t
x
1
= 0 ⇒ B(t)W (t) = B(x
1
)W (x
1
) ,

Страницы