Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 129 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть функция y(x) доставляет наименьшее значение интегралу
I в условиях регулярности. Вторая вариация δ
2
I[η] как функционал относительно
функции η имеет тогда наименьшее значение равное нулю, которое достигается при
η = 0 тождественно.
Пусть (x
0
, y
0
) — сопряженная точка к точке (x
1
, y
1
) и η(x) — соответствую-
щее решение уравнения Якоби. Обозначим функцию Лагранжа для второй вариа-
ции (8.19) через L:
L(x, η, η
0
) = A(x)η
2
+ B(x)η
02
.
Заметим, что
2L =
∂L
∂η
· η +
∂L
∂η
0
· η
0
.
Уравнение Эйлера для функционала δ
2
I[η] или, что то же, уравнение Якоби для
функционала I[y], имеет вид
∂L
∂η
=
d
dx
∂L
∂η
0
,
тогда
2L =
d
dx
∂L
∂η
0
· η +
∂L
∂η
0
·
dη
dx
=
d
dx
∂L
∂η
0
· η
.
Составим функцию
ξ(x) =
(
η(x) при x ∈ [x
1
, x
0
] ,
0 при x ∈ [x
0
, x
2
] .
Функция ξ является непрерывной, кусочно непрерывно дифференцируемой, имею-
щей угловую точку при x = x
0
. Заметим, что
δ
2
I[ξ] =
x
2
Z
x
1
[Aξ
2
+Bξ
02
] dx =
x
0
Z
x
1
[Aη
2
+Bη
02
] dx =
x
0
Z
x
1
L(x, η, η
0
) dx =
1
2
∂L
∂η
0
·η
x=x
0
x=x
1
= 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
