Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 118 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определим криволинейный интеграл
U =
Z
γ
F (x, y, z(x, y))dx + F
0
z
(x, y, z(x, y)) · [dy − z(x, y)dx] , (8.15)
взятый вдоль некоторой кривой γ. Подчеркнем, что этот интеграл зависит не только
от пути интегрирования γ, но также от функции z(x, y):
U = U{γ; z},
Он называется интегралом Гильберта, а функция z — его функцией наклона.
Если кривая γ задана параметрически
γ :
(
x = x(t) ,
y = y(t) ,
где t ∈ [a, b], то
U =
b
Z
a
F (x, y, z(x, y)) · x
0
+ F
0
z
(x, y, z(x, y)) · [y
0
− z(x, y) · x
0
]
dt .
Предположим теперь, что переменная кривая Γ при всех значениях параметра
t ∈ [a, b] является экстремалью. Обозначим через Γ
AC
и Γ
BD
экстремали семейства,
соответствующие значениям параметра t = a и t = b. Также обозначим через γ
AB
участок кривой γ
1
, соединяющий точки A (соответствующей значению параметра
t = a) и B (соответствующей значению параметра t = b) и аналогично обозначим
через γ
CD
участок кривой γ
2
от точки C (соответствующей значению параметра
t = a) до точки D (соответствующей значению параметра t = b), см. рис. 12. Если
проинтегрировать равенство (8.14) по переменной t в пределах от a до b, мы придем
к замечательному равенству
I{Γ
BD
} − I{Γ
AC
} = U {γ
CD
; z} − U{γ
AB
; z}, (8.16)

Страницы