Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 163 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
9.1.2. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия частицы массы m и скорости v определяется величиной
mv
2
2
=
1
2
m( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
) .
Для системы l частиц кинетическая энергия равна
T =
1
2
l
X
j=1
m
j
( ˙x
2
j
+ ˙y
2
j
+ ˙z
2
j
) , (9.2)
где m
j
— масса j-ой частицы. По определению T > 0.
9.1.3. Связи. Обобщенные координаты
Действие связей в системе l частиц сокращает число независимых переменных. Если
связи, описывающие положения частиц, определяются k независимыми уравнениями
G
i
(x
1
, y
1
, z
1
, . . . , x
l
, y
l
, z
l
) = 0 (i = 1, . . . , k) , (9.3)
то количество независимых координат равно 3l − k. Равенства (9.3) могут быть
использованы для исключения k зависимых переменных.
Более удобно, однако, ввести n = 3l − k независимых переменных q
1
, . . . , q
n
,
описывающих положения частиц. Это не что иное, как параметризация уравнений
связей (9.3):
x
j
= x
j
(q
1
, . . . , q
n
) , y
j
= y
j
(q
1
, . . . , q
n
) , z
j
= z
j
(q
1
, . . . , q
n
) (9.4)
для j = 1, . . . , l. Переменные q
1
. . . , q
n
называются обобщенными координатами.
Назначение их — описывать положения частиц системы, автоматически подчиняясь
геометрическим ограничениям (связям).
Выбор обобщенных координат не является однозначным.

Страницы