Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 193 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
B. Лемма Гейне-Бореля
Если отрезок [a, b] содержится в объединении открытых интервалов
S
G
α
, то уже
конечное число этих интервалов покрывает отрезок [a, b]:
∃α
1
, . . . , α
n
: [a, b] ⊂
n
[
i=1
G
α
i
.
Для доказательства, предположим противное, т.е. то, что интервал [a, b] не может
быть покрыт конечным числом интервалов G
α
. Поделим этот интервал пополам.
Тогда хотя бы один из интервалов [a, c] или [c, b], где c — середина отрезка [a, b],
не покрывается конечным числом интервалов. Продолжая этот процесс деления до
бесконечности, построим последовательность вложенных интервалов, каждый из ко-
торых вдвое меньше предыдущего и не может быть покрыт конечным числом интер-
валов G
α
:
[a, b] ⊃ [a
1
, b
1
] ⊃ . . . [a
n
, b
n
] ⊃ . . .
По аксиоме Кантора–Дедекинда, существует точка пересечения всех этих отрезков
x
0
=
\
[a
n
, b
n
] .
Эта точка содержится в некотором интервале G
α
0
. Если n достаточно велико, то
[a
n
, b
n
] ⊂ G
α
0
, т.е. [a
n
, b
n
] покрывается всего лишь одним интервалом. Противоре-
чие.
Доказанное свойство называется компактностью замкнутого ограниченного ин-
тервала [a, b].
Свойство компактности сохраняется при непрерывных отображениях. Пусть
ϕ(x) = (ϕ
1
(x), . . . , ϕ
k
(x)) — непрерывная вектор–функция [a, b] → R
k
. Предполо-
жим, что объединение открытых шаров
S
B
α
содержит график функции ϕ. Лемма
Гейне–Бореля утверждает, что уже конечное число этих шаров будет покрывать
график этой функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- …
- следующая ›
- последняя »
