Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 29 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где η(x) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая
нулевым граничным условиям
η(x
1
) = η(x
2
) = 0 , (3.4)
а t — параметр семейства. Заметим, что выбор разных функций η(x) приводит к
разным однопараметрическим семействам. Если такое семейство уже выделено, за-
дание числа t определяет некоторую функцию Y (x) этого семейства. Условия (3.4)
обеспечивают выполнение граничных условий (3.2) для функции Y (x):
Y (x
1
) = y
1
, Y (x
2
) = y
2
. (3.5)
x
1
x
2
y
1
y
2
y(x)
Y (x)
Важно отметить, что какое-бы семейство ни бы-
ло выделено (т.е. какая бы функция η(x) ни была
фиксирована), минимизирующая функция y(x) ле-
жит в этом семействе и отвечает выбору t = 0.
Геометрически мы имеем дело с однопарамет-
рическим семейством кривых y = Y (x), соединя-
ющих точки P
1
(x
1
, y
1
) и P
2
(x
2
, y
2
). Минимизиру-
ющая кривая y = y(x) является членом каждого
такого семейства, отвечая выбору параметра t = 0.
Отклонение по вертикали любой кривой семейства от минимизирующей дуги равно
tη(x).
Если функция η(x) фиксирована, можно выбрать диапазон изменения t таким,
чтобы величина вертикального отклонения |tη(x)| была меньше произвольно малого
наперед заданного числа ε > 0 для всех x из интервала [x
1
, x
2
]:
|t| 6 T ⇒ |tη(x)| 6 ε (∀x ∈ [x
1
, x
2
]) .
Действительно, исходя из неравенства
|tη(x)| 6 T kηk < ε ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
