Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 28 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3. Уравнение Эйлера–Лагранжа
3.1. Постановка вопроса
Полное решение задач, поставленных в разделе 1, требует достаточно продвинутой
техники. Ограничим себя пока решением следующего вопроса.
Пусть известно, что существует дважды непрерывно дифференцируемая функция
y(x), которая минимизирует интеграл
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx (3.1)
и удовлетворяет граничным условиям
y(x
1
) = y
1
, y(x
2
) = y
2
. (3.2)
Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет y(x)?
Тем самым мы не ставим на первое место вопрос о существовании миниму-
ма. Также, мы не принимаем в расчет возможность минимизации интеграла (3.1)
функциями, менее гладкими (например, только кусочно непрерывно дифференциру-
емыми).
Функцию F будем считать дважды непрерывно дифференцируемой.
3.2. Вариация интегрального функционала
Итак, обозначим через y(x) функцию, минимизирующую интеграл (3.1) и удовле-
творяющую граничным условиям (3.2). Для сравнения с y(x) введем однопарамет-
рическое семейство функций Y (x):
Y (x) = y(x) + tη(x) , (3.3)

Страницы