Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 45 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
P =
∂x
∂ϕ
2
+
∂y
∂ϕ
2
+
∂z
∂ϕ
2
= r
2
sin
2
θ sin
2
ϕ + r
2
sin
2
θ cos
2
ϕ = r
2
sin
2
θ ,
Q = 0 ,
R =
∂x
∂θ
2
+
∂y
∂θ
2
+
∂z
∂θ
2
= r
2
cos
2
θ cos
2
ϕ + r
2
cos
2
θ sin
2
ϕ + r
2
sin
2
θ = r
2
.
Задача свелась к случаю (с) данного пункта.
ϕ = C
1
Z
r dθ
q
r
4
sin
4
θ −C
2
1
r
2
sin
2
θ
= −C
1
Z
d ctg θ
q
r
2
−
C
2
1
sin
2
θ
= −
Z
d(C
1
ctg θ)
p
r
2
− C
2
1
− C
2
1
ctg
2
θ
= −arcsin
C
1
ctg θ
p
r
2
− C
2
1
+ C
2
,
откуда
sin(C
2
− ϕ) =
C
1
ctg θ
p
r
2
− C
2
1
⇒
sin C
2
cos ϕ − cos C
2
sin ϕ −
C
1
ctg θ
p
r
2
− C
2
1
= 0
×r sin θ ⇒
Ax + By + Cz = 0 ,
где мы положили
A = sin C
2
, B = −cos C
2
, C = −
C
1
p
r
2
− C
2
1
.
Таким образом, геодезические лежат в плоскости, проходящей через начало коорди-
нат (центр сферы) и тем самым являются дугами больших кругов.

Страницы