Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 47 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
см. (1.14), от x не зависит. Согласно (3.16) найдем первый интеграл:
y
0
·
y
0
p
(y − y
0
)(1 + y
02
)
−
p
1 + y
02
√
y − y
0
= C
1
.
Разрешая это уравнение относительно y
0
, находим
y
02
− (1 + y
02
) = C
1
p
(y − y
0
)(1 + y
02
) ⇒
C
2
1
(y − y
0
)(1 + y
02
) = 1 ⇒
y
02
=
1 − C
2
1
(y − y
0
)
C
2
1
(y − y
0
)
⇒
dy
dx
=
s
2a − (y −y
0
)
y − y
0
,
где мы положили 2a = 1/C
2
1
. Таким образом
x =
Z
√
y − y
0
dy
p
2a − (y −y
0
)
.
Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой
y − y
0
= 2a sin
2
θ
2
.
Тогда
x =
Z
tg
θ
2
· 2a · 2 sin
θ
2
cos
θ
2
·
dθ
2
= 2a
Z
sin
2
θ
2
dθ = a
Z
(1 − cosθ) dθ = a(θ − sin θ) + x
0
,

Страницы