Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 48 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где x
0
— постоянная интегрирования. Мы пришли к решению в параметрической
форме
(
x − x
0
= a(θ − sin θ)
y − y
0
= a(1 − cos θ) .
Это и есть кривая наибыстрейшего спуска. Уравнения хорошо известны под назва-
нием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных a и x
0
позволяет провести
циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина y
0
не
является произвольной постоянной.
4.3. Минимальная поверхность вращения
4.3.1. Катеноид
Функция Лагранжа в этом случае, см. ( 1.15), имеет вид
F = y
p
1 + y
02
и также как выше не зависит от x. Первый интеграл дается равенством
y
0
·
yy
0
p
1 + y
02
− y
p
1 + y
02
= C
1
,
и тогда
yy
02
− y(1 + y
02
) = C
1
p
1 + y
02
⇒
C
2
1
(1 + y
02
) = y
2
⇒
y
02
=
y
2
− C
2
1
C
2
1
⇒
x =
Z
C
1
dy
p
y
2
− C
2
1
.

Страницы