ВУЗ:
Составители:
39
ξ+
ξ
ξ
=ξ=µε cos
sin
)(
P
fch (1)
Найдем решение уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла.
Условие (1) задачи 3.12 теперь будет справедливым только для
0>n (так как
при
0<x потенциал уже не периодичен), и, следовательно, ρ может быть и
меньше единицы. Если ввести
ikl
e=ρ , то это значит, что возможны решения с
комплексным
k при условии, что
0)Im( >k
.
При
x<0 уравнение ψ=ψ+
ψ
µ
− EW
dx
d
0
2
22
2
h
имеет решение
l
x
q
x
Ae
22
0
ξ−
<
=ψ ,
где введены обозначения
q
W
l =
µ
2
0
2
h
, ξ=χ=
µ
l
E
l
2
2
h
. При этом
0
22
>ξ−q
.
При
0>x (внутри кристалла) рассмотрим область I: lx
≤
≤
0 ; в ней
xixi
eCeC
χ−χ
Ι
+=ψ
21
. (2)
В области II
lxl 2≤≤ и
xixi
eCeC
χ−χ
ΙΙ
+=ψ
43
. (3)
Но если выбрать
x=0, то x=l лежит еще в области I, а поэтому можно считать
13
СС = и
24
СС = и в силу формулы (1) задачи 3.12 получить условие:
)(
2121
CCeeCeС
ikllili
+=+
χ−χ
, т.е.
)(
)(
12
1
1
kli
kli
e
e
CC
+−
−
−
−
−=
ξ
ξ
, (4)
где по-прежнему
l
χ
ξ
= . Таким образом, при 0>x функция определена
формулой (2) при условии (4).
Условие непрерывности
Ψ
и
dx
d
Ψ
в точке 0
=
x дает
21
CCA
+
= и
)(
21
22
CCi
l
qA
−χ=
ξ−
. Откуда
ξ
ξ
ξ−
=ξ−
sin
cos
22
ikl
e
q
. (5)
Рассмотрим это равенство для комплексных значений
k. Тогда
µ−
ε= ee
ikl
(где
0sin ≥ξε и условие (5) дает
