Методические указания к решению задач по квантовой теории для студентов физического факультета. Часть II - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

37
Получена система четырех линейных однородных уравнений относительно
коэффициентов
4321
C,C,C,C . Для существования решения, отличного от
нуля, необходимо, чтобы детерминант этой системы был равен нулю:
0
1111
=
χ−χλλ−
−−
χχ−λ−λ
−−
χ−χλ−λ−
χ−χλ−λ−
aiaibiklbikl
aiaibiklbikl
eieiee
eeee
ii
Вычисление этого детерминанта приводит к уравнению, определяющему
энергию частицы, находящейся в периодическом поле:
klcosasinb
x
acosb)E(f =χλ
λ
χ−λ
+χλ= sh
2
ch
22
(3)
Слева энергия входит через величины
χ
и l. Чтобы это равенство было
возможным, необходимо, чтобы
1≤)E(f . Можно убедится, что при
π
=
χ
na
оно нарушается, так как
b)E(f
λ
±
=
ch и 1>)E(f . Таким образом, энергии
2
222
2 a
n
E
µ
π
=
h
оказываются запрещенными для электрона в периодическом поле (модель
кристалла).
3.11.
Полученное в предыдущей задаче уравнение (3) в предельном случае,
когда
∞→
0
V и 0→b так, что 0→
λ
b и 1
sh
→
λ
λ
b
b
, переходит в уравнение
klcos
l
lsin
Plcos)E(f =
χ
χ
+χ= , (1)
где
2
lim
2
0
0
ab
P
b
V
λ
=
→
∞→
. Если обозначить β=
χ
tg
l
P
, то оно примет вид
kl
l
cos
cos
)cos(
=
β
β
−
χ
.
Границы энергетических зон будут лежать вблизи
β±=β
−
χ
cos)cos( l
, т. е. при
π
χ
nl = или π=β−χ nl 2 . Подставив
ε
−
π
=
χ
nl , получим
kl
n
cos)sintg(cos)1( =εβ−ε− .

Страницы