ВУЗ:
Составители:
40
µ−
ε=ξ+
ξ
ξ
ξ− eq cos
sin
22
. (6)
Кроме того, условие (1) тоже должно выполняться. Беря разность равенств (1)
и (6), получаем
µε=
ξ
ξ
⋅ξ−− sh
sin
)(
22
qP . (7)
Так как
ξsin и
ε
имеют одинаковый знак, а
22
ξ−q
,
ξ
и
µ
больше нуля, то
отсюда получаем
0
22
>ξ−− qP , т.е.
2222
qPq <ξ<− .
Только при этом условии возможно существование дополнительных уровней,
отвечающих комплексному
k
. Возводя в квадрат и вычитая выражения (7) и
(1), получаем уравнение, определяющее уровни энергии
)(
ξ
:
ξξξ
ctgq
P
q
=−−
22
2
2
. (8)
Покажем, что этим лежащим в запрещенной зоне значениям энергии отвечает
функция, убывающая с ростом
x по обе стороны границы кристалл-вакуум
(плоскость
0=x ).
Действительно, при
0<x
решение
a
x
q
x
Ae
22
0
ξ−
<
=ψ обладает этим свойством.
При
0>x решение удовлетворяет условию )()( xelx
ikl
ψ=+ψ (периодическое
поле), которое можно переписать в виде
)(
)()(
)(
xu
e
lx
e
x
lxikikx
=
+
ψ
=
ψ
+
, где )(xu является
периодической функцией. Следовательно, для комплексного
k
)()()( xuexuex
e
x
ikx
⋅ε==ψ
µ
−
.
Таким образом, найдено состояние с энергией, лежащей в запрещенной зоне.
Вероятность обнаружить частицу убывает экспоненциально по обе стороны
от
0=x
(от поверхности кристалла). Значение
ξ
, т.е. положение уровня
энергии, можно найти, решая графически уравнение (8).
