Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

132
§ 3. Техника вычисления пределов
3.1. Предел числовой последовательности
Пример 1. Пусть
12
+
=
n
n
x
n
(
)
N
∈
n
. Доказать, что
2
1
lim =
∞→
n
n
x .
◄ Напомним, что задание числовой последовательности
равносильно заданию некоторой функции
(
)
nf
натурального
аргумента. Если эта функция имеет не очень сложную структу-
ру, т.е. имеет достаточно простое аналитическое выражение, то
для вычисления предела можно использовать непосредственно
само определение, т.е. для 0>
∀
ε
найти такое число
ε
NN = )(
ε
, что
ε
<− ax
n
для
ε
Nn >
∀
. В нашем случае
имеем
ε
<
+
=
+
−=−
+
=−
)12(2
1
)12(2
1
2
1
12 nnn
n
ax
n
.
Теперь выясним, существует ли такое число , чтобы для
ε
N
всех элементов данной последовательности, номера п кото-
n
x
рых больше , выполнялось неравенство
ε
N
ε
<− ax
n
. Для это-
го решим неравенство
ε
<
+ )12(2
1
n
относительно :
n
,
2
1
121)12(2
)12(2
1
ε
εε
>+⇒>+⋅⇒<
+
nn
n
так как 0>
ε
.
Из последнего неравенства окончательно имеем
ε
ε
4
21
−
>n .
Заметим, что если
ε
– произвольное сколь угодно малое поло-
жительное число, то величина
ε
ε
4
21
−
будет достаточно боль-
шим положительным числом. Тогда за искомое число мож-
ε
N
но взять любое натуральное число, лежащее правее точки

Страницы