Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

134
Надо подчеркнуть особо, что полученный вывод не может
служить доказательством того, что существует
3
1
lim =
∞→
n
n
x ! Ут-
верждение, что предел данной последовательности существует и
равен
3
1
, можно считать доказанным, если для 0>
∀
ε
найдем
номер такой, что для всех будет выполняться нера-
ε
N
ε
Nn >
венство
ε
<−
−+
+−
3
1
423
2
2
2
nn
nn
. (1)
С этой целью рассмотрим разность
)423(3
105
3
1
423
2
22
2
−+
+−
=−
−+
+−
nn
n
nn
nn
и оценим ее абсолютную величину. Для имеем: 2>n
,
1
23
5
)43(3
5
)423(3
105
3
1
423
2
2222
2
n
n
n
n
n
nn
n
nn
nn
<
⋅
<
−
<
−+
+−
=−
−+
+−
так что это выражение меньше
ε
, если
ε
1
>n
. Если
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ε
ε
1
N
,
то при всех неравенство (1) выполняется. Этим доказа-
ε
Nn >
но, что существует
3
1
lim =
∞→
n
n
x .►
Итак, в примерах 1 и 2 с помощью не очень сложных мате-
матических выкладок для
0>
∀
ε
нам удалось подобрать соот-
ветствующий номер .
На практике к таким рассуждениям
обычно прибегают при доказательстве существования предела.
Рассуждения при этом могут быть достаточно сложными, если
пользоваться только определением.
ε
N
На практике чаще всего мы сталкиваемся с примерами, в
которых необходимо просто вычислить предел данной последо-
вательности, будучи уверенными в его существовании. При ре-

Страницы